"CAMBIO DE VARIABLE"

MI APRENDIZAJE:

en esta clase, aprendimos integración por cambio de variable este tema se ve muy practico por que solamente es derivar u y re acomodar términos. pero se me dificulta cuando veo una raíz siento que me bloqueo, y no se que hacer con una raíz.. he estado poniendo mucha atención en cada paso de la clase y si no me queda claro pregunto de donde salio equis numero o resultado & tomando mis notas. me estaré apoyando como en cada tema de vídeos para seguir comprendiendo y no quedarme con dudas.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA:

La integración por cambio de variable, también conocida como integración por sustitución, es un método que se utiliza para evaluar integrales. Este método se basa en realizar un cambio de variable que permita que el integrando se convierta en algo más sencillo.

Para cambiar las variables de integración, se puede seguir el siguiente procedimiento:

Identificar una función, g(x), en el integrando que será "u".
Obtener la derivada de esta función, du = g'(x)dx.
Reemplazar g(x) por u y g'(x)dx por du.
Integrar sobre u.

El método de cambio de variable es similar para integrales definidas e indefinidas, pero en el caso de las integrales definidas, se debe tener en cuenta los límites de integración.

Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena y ayuda a integrar composiciones de funciones.

El método integración por sustitución o cambio de variable se utiliza para evaluar integrales. El método se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que permita convertir el integrando en algo sencillo. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena. Antes de enunciar el teorema, considere un ejemplo simple para integrales indefinidas.

Supóngase que la integral a resolver es:

\int x^{2}(2x^{3}+1)^{7}dx

Se hace el cambio de variable

{\begin{aligned}u&=2x^{3}+1\\du&=6x^{2}dx\end{aligned}}

Por lo que la integral se convierte en

{\begin{aligned}\int x^{2}(2x^{3}+1)^{7}dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {6x^{2}dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {u^{8}}{8}}\right)+C\\&={\frac {(2x^{3}+1)^{8}}{48}}+C\end{aligned}}

donde $C\in \mathbb {R}$ es una constante arbitraria llamada constante de integracion.

Frecuentemente este método es utilizado pero no todas las integrales permiten el uso de este método, en los casos en los que sí es posible, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.